- Золотое сечение это деление отрезка на две части, при котором целое относится к большей части так же, как большая часть к меньшей; это отношение равно числу φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887.
- При делении в золотом сечении большая часть составляет примерно 61,8 % длины отрезка, а меньшая примерно 38,2 %, потому что 1 / φ ≈ 0,618 и 1 / φ² ≈ 0,382.
- Число φ обладает свойствами φ² = φ + 1 и 1 / φ = φ − 1, поэтому деление на φ равносильно умножению на 0,618, а возведение φ в квадрат равносильно прибавлению единицы.
- Отношения соседних чисел Фибоначчи 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 стремятся к φ, и правило 3:5:8 является целочисленным приближением золотого сечения с ошибкой от 1 до 3 %.
- Евклид описал пропорцию в «Началах» около 300 года до нашей эры как деление в крайнем и среднем отношении, Лука Пачоли издал трактат «De divina proportione» в 1509 году, термин «золотое сечение» впервые зафиксирован у Мартина Ома в 1835 году, а обозначение φ ввёл Марк Барр в начале XX века.
- Золотой угол 360° / φ² ≈ 137,5° определяет расположение семян и листьев у многих растений, а утверждения о золотом сечении в Парфеноне, пирамиде Хеопса и «Моне Лизе» не подтверждаются измерениями, как показал Марио Ливио в книге «The Golden Ratio» (2002).
Что такое золотое сечение простыми словами
Золотое сечение это деление отрезка на две неравные части, при котором весь отрезок относится к большей части так же, как большая часть относится к меньшей. Если целое обозначить a + b, большую часть a и меньшую b, то (a + b) / a = a / b. Это отношение одинаково для отрезка любой длины и равно числу φ ≈ 1,618.
На практике это значит, что большая часть занимает примерно 61,8 % длины, а меньшая примерно 38,2 %. Отрезок длиной один метр золотое сечение делит на 61,8 см и 38,2 см, полоса шириной 1000 пикселей делится на 618 и 382 пикселя, а рама высотой 50 см на 30,9 см и 19,1 см. Доли одни и те же, меняется только масштаб.
У этой пропорции есть свойство, которого нет у других делений: если от большей части снова отделить кусок в том же отношении, получится в точности меньшая часть исходного отрезка. Деление можно повторять бесконечно, и на каждом шаге пропорция сохраняется. Это свойство называют самоподобием, и оно объясняет, почему золотое сечение так тесно связано со спиралями и рядом Фибоначчи.
Золотое сечение: формула и точное значение числа φ
Формула золотого сечения записывается как φ = (1 + √5) / 2, что даёт бесконечную непериодическую десятичную дробь 1,6180339887… Число φ иррационально, его нельзя представить дробью из двух целых чисел, поэтому любая запись вида 1,618 или 1,62 является приближением. Для расчётов в дизайне и вёрстке обычно хватает трёх знаков после запятой.
Формула выводится из самого определения. Если принять меньшую часть за 1, а большую за x, условие (x + 1) / x = x / 1 превращается в квадратное уравнение x² = x + 1, или x² − x − 1 = 0. Его положительный корень и есть φ. Отсюда следуют два равенства, которыми пользуется калькулятор: φ² = φ + 1 ≈ 2,618 и 1 / φ = φ − 1 ≈ 0,618.
Второе равенство необычно: φ единственное положительное число, обратная величина которого получается вычитанием единицы. На практике это означает, что делить на φ и умножать на 0,618 одно и то же. Число φ можно также записать бесконечной цепной дробью, состоящей из одних единиц, и бесконечным вложенным корнем √(1 + √(1 + √(1 + …))). Из-за цепной дроби из единиц φ приближается рациональными дробями медленнее любого другого числа, и именно поэтому отношения чисел Фибоначчи подходят к нему так неспешно.
| Величина | Выражение | Значение |
|---|---|---|
| φ | (1 + √5) / 2 | 1,6180339887 |
| φ² | φ + 1 | 2,6180339887 |
| 1 / φ | φ − 1 | 0,6180339887 |
| 1 / φ² | 2 − φ | 0,3819660113 |
| √5 | 2φ − 1 | 2,2360679775 |
Все строки таблицы связаны одним уравнением x² = x + 1, поэтому, зная φ с нужной точностью, остальные величины можно получить сложением и вычитанием без повторного извлечения корня.
Как вычислить золотое сечение, если известен только один размер
Чтобы вычислить золотое сечение, достаточно одного известного размера и двух действий: умножения и деления на φ. Если известна вся длина L, большая часть равна L / φ, то есть L × 0,618, а меньшая равна L − L / φ, то есть L × 0,382. Если известна большая часть a, целое равно a × φ, а меньшая часть a / φ. Если известна меньшая часть b, большая часть равна b × φ, а целое b × φ² ≈ b × 2,618.
Пример со стеной длиной 4,5 метра, на которой картину нужно повесить так, чтобы она делила стену в золотом сечении: 4,5 × 0,618 = 2,781 м, значит центр картины будет на расстоянии 2,78 м от одного края и 1,72 м от другого. Пример с экраном шириной 1440 пикселей: основная колонка по золотому сечению займёт 890 пикселей, боковая 550. Пример с известной меньшей частью: если поле подписи под фотографией имеет высоту 40 мм, сама фотография при золотой пропорции должна быть высотой 40 × 1,618 ≈ 65 мм, а весь блок 105 мм.
Калькулятор над этим текстом выполняет те же действия: введите одно число в любое из полей, и остальные пересчитаются, а рядом появятся золотой прямоугольник с полученными сторонами и спираль.
| Известно | Целое a + b | Большая часть a | Меньшая часть b |
|---|---|---|---|
| Целое L | L | L / φ ≈ 0,618 L | L / φ² ≈ 0,382 L |
| Большая часть a | a × φ ≈ 1,618 a | a | a / φ ≈ 0,618 a |
| Меньшая часть b | b × φ² ≈ 2,618 b | b × φ ≈ 1,618 b | b |
Для проверки сложите большую и меньшую части: сумма должна дать целое, а отношение большей части к меньшей должно равняться 1,618 с точностью до округления.
Что такое правило золотого сечения 3:5:8 и откуда взялись эти числа
Правило золотого сечения 3:5:8 это упрощённая целочисленная версия пропорции: числа 3, 5 и 8 идут подряд в ряду Фибоначчи, и отношения 5/3 ≈ 1,667 и 8/5 = 1,6 близки к φ ≈ 1,618. Правило удобно тем, что не требует вычислений с дробями: полосу делят на 8 частей, 5 отдают главному элементу и 3 второстепенному. Так планируют комнату, кадр, страницу или клумбу, когда точность до миллиметра не нужна.
Ряд Фибоначчи начинается с 1, 1, а каждое следующее число равно сумме двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. Ряд описал Леонардо Пизанский, известный как Фибоначчи, в книге «Liber Abaci» 1202 года на примере задачи о размножении кроликов. Отношение соседних чисел F(n+1) / F(n) колеблется вокруг φ и с каждым шагом подходит к нему всё ближе: 3/2 = 1,5, 5/3 ≈ 1,667, 8/5 = 1,6, 13/8 = 1,625, 21/13 ≈ 1,615, 34/21 ≈ 1,619. Эту связь заметил Иоганн Кеплер в начале XVII века.
Точную связь даёт формула Бине, названная по имени французского математика Жака Бине: n-е число Фибоначчи равно (φⁿ − (−φ)⁻ⁿ) / √5. Второе слагаемое быстро стремится к нулю, поэтому F(n) почти равно φⁿ / √5, а отношение соседних членов почти равно φ. Чем дальше в ряду взяты числа, тем точнее их отношение приближает золотое сечение: пара 5 и 8 даёт ошибку около 1 %, а пара 89 и 144 уже около 0,004 %.
| Отношение | Значение | Отклонение от φ |
|---|---|---|
| 2 / 1 | 2,000 | +23,6 % |
| 3 / 2 | 1,500 | −7,3 % |
| 5 / 3 | 1,667 | +3,0 % |
| 8 / 5 | 1,600 | −1,1 % |
| 13 / 8 | 1,625 | +0,43 % |
| 21 / 13 | 1,615 | −0,16 % |
| 34 / 21 | 1,619 | +0,06 % |
| 55 / 34 | 1,618 | −0,02 % |
Знаки отклонений чередуются: отношения по очереди оказываются то больше, то меньше φ, и это свойство доказано для всего ряда, а не только для первых членов.
Что такое золотой прямоугольник и как из него получается золотая спираль
Золотой прямоугольник это прямоугольник, у которого отношение длинной стороны к короткой равно φ, например 1,618 × 1 или 89 × 55. Его главное свойство: если отрезать от него квадрат со стороной, равной короткой стороне, останется прямоугольник с теми же пропорциями, только меньше. Операцию можно повторять бесконечно, и каждый раз будет получаться новый золотой прямоугольник, повёрнутый на четверть оборота.
Если в каждом отрезанном квадрате провести четверть окружности, соединив противоположные углы, дуги сложатся в плавную кривую, которую называют золотой спиралью. Строго говоря, это приближение: настоящая золотая спираль это логарифмическая спираль, радиус которой увеличивается в φ раз за каждую четверть оборота, а кривая из дуг лишь очень близка к ней. Именно такую спираль калькулятор рисует поверх золотого прямоугольника.
Золотой прямоугольник можно построить циркулем и линейкой из квадрата. Отметьте середину одной стороны квадрата, проведите из неё отрезок к противоположной вершине и раствором циркуля, равным этому отрезку, продлите сторону квадрата. Если сторона квадрата равна 1, отрезок к вершине равен √5 / 2, а продлённая сторона получается длиной 1/2 + √5 / 2 = φ. Похожее построение есть во второй книге «Начал» Евклида.
Золотое сечение появляется и в правильном пятиугольнике: его диагональ относится к стороне как φ, а диагонали, пересекаясь, делят друг друга в золотом сечении и образуют пятиконечную звезду, внутри которой лежит новый правильный пятиугольник. Через пятиугольник пропорция попадает в додекаэдр и икосаэдр, поэтому Евклиду она понадобилась для построения правильных многогранников.
Где встречается золотое сечение в природе и что такое золотой угол
В природе золотое сечение чаще всего проявляется через золотой угол и числа Фибоначчи в расположении листьев, семян и чешуек. Золотой угол равен 360° / φ² ≈ 137,5°: примерно на такой угол повёрнут каждый следующий лист, семя или чешуйка относительно предыдущих у многих растений. Раздел ботаники, который изучает такое расположение, называется филлотаксисом.
Когда новые элементы появляются в центре побега и отодвигают старые наружу, поворот на золотой угол даёт самую плотную укладку без крупных пустот. Из-за этого на корзинке подсолнуха семена выстраиваются в два семейства спиралей, закрученных в разные стороны, и число спиралей в них обычно равно соседним числам Фибоначчи: 34 и 55 или 55 и 89. У сосновых шишек чаще встречаются 8 и 13, у ананаса 8, 13 и 21. В 1992 году физики Стефан Дуади и Ив Кудер воспроизвели такое расположение в лабораторном опыте с каплями магнитной жидкости, показав, что оно возникает само собой из простых правил роста.
Раковину наутилуса часто приводят как пример золотой спирали, и это неточно. Раковина действительно закручена по логарифмической спирали, однако её коэффициент роста за четверть оборота заметно меньше φ и меняется от экземпляра к экземпляру. Логарифмическая спираль как таковая встречается в природе очень широко, от раковин до рукавов галактик, а золотая спираль лишь один её частный случай с конкретным коэффициентом.
Как применяют золотое сечение в дизайне, вёрстке и фотографии
В дизайне золотое сечение используют как готовое отношение для размеров, отступов и деления пространства: 1 : 1,618 для сторон карточек и блоков, 0,618 для ширины основной колонки, 5:8 и 3:5:8 для быстрого деления макета без дробных чисел. Пропорция удобна тем, что даёт заметный, но мягкий контраст между большим и малым элементом и хорошо сочетается сама с собой: часть, отрезанная в том же отношении, вписывается в общую сетку.
Типографические шкалы строят на множителе 1,618: если базовый размер текста 16 пикселей, следующий шаг равен 26, затем 42, 68 и 110. На экране такой шаг часто оказывается слишком крупным, поэтому дизайнеры чаще берут множители 1,25, 1,333 или 1,5, а золотое сечение оставляют для заголовков и крупных акцентов. Числа Фибоначчи 8, 13, 21, 34, 55 используют и для шкалы отступов, потому что они целые и складываются друг с другом.
В фотографии и живописи применяют сетку фи, в которой две вертикальные и две горизонтальные линии делят кадр в отношении 1 : 0,618 : 1, и главный объект ставят на линию или в точку пересечения. Привычное правило третей это её упрощение: линии сдвинуты к краю с 38,2 % на 33,3 %, и такую долю легче отмерить на глаз. Разница между сетками меньше 5 % ширины кадра, и обе служат одной цели: увести главный объект из геометрического центра.
| Задача | Пропорция | Пример |
|---|---|---|
| Две колонки | 61,8 % / 38,2 % | 1200 px делятся на 742 и 458 px |
| Стороны блока | 1 : 1,618 | Карточка 300 × 485 px |
| Быстрое деление | 3 : 5 : 8 | Полоса из 8 частей: 5 главному, 3 второстепенному |
| Шкала шрифтов | × 1,618 | 16, 26, 42, 68 px |
| Сетка кадра | 1 : 0,618 : 1 | Линии на 38,2 % и 61,8 % |
Пропорция остаётся инструментом, а не правилом: макет, построенный на 1 : 1,618, не становится хорошим автоматически, и многие сильные работы используют другие отношения, например 2:3, 3:4 или квадрат.
Кто открыл золотое сечение и откуда взялось его название
Золотое сечение как математическое понятие впервые описано в «Началах» Евклида около 300 года до нашей эры: в третьем определении шестой книги оно названо делением «в крайнем и среднем отношении». Евклид не приписывал пропорции особого значения и использовал её как инструмент для построения правильного пятиугольника и правильных многогранников.
В 1509 году итальянский математик Лука Пачоли издал в Венеции трактат «De divina proportione» («О божественной пропорции»), иллюстрации к которому выполнил Леонардо да Винчи. Пачоли собрал известные свойства пропорции и придал ей религиозный и философский смысл; с этой книги начинается традиция видеть в ней особую гармонию. Леонардо участвовал в трактате как иллюстратор многогранников.
Название «золотое сечение» гораздо моложе: по-немецки «goldener Schnitt» впервые зафиксировано в 1835 году в учебнике математика Мартина Ома, брата физика Георга Ома. Букву φ для обозначения числа предложил в начале XX века американский математик Марк Барр в честь древнегреческого скульптора Фидия. В русской литературе наряду с «золотым сечением» встречаются «золотая пропорция» и «божественная пропорция».
| Год | Событие |
|---|---|
| около 300 до н. э. | Евклид, «Начала», книга VI: деление в крайнем и среднем отношении |
| 1202 | Леонардо Пизанский (Фибоначчи), «Liber Abaci»: задача о кроликах и ряд чисел |
| 1509 | Лука Пачоли, «De divina proportione» с иллюстрациями Леонардо да Винчи |
| начало XVII века | Иоганн Кеплер отмечает, что отношения чисел Фибоначчи стремятся к пропорции |
| 1835 | Мартин Ом впервые употребляет термин «goldener Schnitt» |
| 1876 | Густав Фехнер публикует опыты о предпочтении прямоугольников |
| начало XX века | Марк Барр вводит обозначение φ в честь Фидия |
| 2002 | Марио Ливио, «The Golden Ratio»: разбор истории и мифов |
Правда ли, что Парфенон, пирамиды и «Мона Лиза» построены по золотому сечению
Большинство популярных примеров золотого сечения в архитектуре и искусстве не подтверждаются измерениями. Астрофизик Марио Ливио в книге «The Golden Ratio» (2002) разобрал утверждения о Парфеноне, пирамиде Хеопса, «Моне Лизе» и пропорциях человеческого тела и показал, что во всех этих случаях золотой прямоугольник получается лишь при выборочном измерении: авторы сами решают, где начинается и заканчивается фасад, включать ли ступени или фронтон, и при другом выборе границ пропорция исчезает. Ту же критику ещё в 1992 году изложил математик Джордж Марковски в статье «Misconceptions about the Golden Ratio».
С Парфеноном сложность в том, что здание сохранилось не полностью, и его фасад можно вписать в прямоугольники с отношением сторон от 1,6 до 1,8 в зависимости от того, что считать краями. У пирамиды Хеопса отношение апофемы к половине основания действительно близко к 1,618, однако ни один египетский текст такой цели не ставит, и то же значение получается из строительного уклона, которым египтяне задавали наклон граней. Леонардо да Винчи иллюстрировал книгу Пачоли, но свидетельств, что он строил на золотом сечении «Мону Лизу» или другие картины, не сохранилось.
То же относится к «идеальным» пропорциям человеческого тела. Отношение роста к высоте пупка у разных людей различается, на него влияют пол, возраст и происхождение, поэтому вывод «тело построено по φ» получается только при подборе примеров. Это не отменяет самой пропорции: золотое сечение остаётся точным математическим объектом, просто его присутствие в конкретном здании или картине нужно доказывать измерениями, а не предполагать.
Почему золотое сечение считают символом гармонии в сакральной геометрии
В сакральной геометрии и эзотерической традиции золотое сечение считают символом гармонии, роста и связи части с целым. Основание для этого дают его математические свойства: самоподобие, при котором часть повторяет целое, и появление пропорции в пятиугольнике, пентаграмме и спиралях роста растений. Со времён трактата Пачоли пропорцию называли божественной и связывали с представлением о совершенном устройстве мира.
В этой традиции золотую спираль и пентаграмму используют как медитативные и декоративные образы, а пропорцию 1 : 1,618 закладывают в планы храмов, мандалы, украшения и предметы интерьера. Это культурная практика, и мы описываем её именно так: как систему символов, которая придаёт числу смысл, не следующий из самой математики. Утверждений о воздействии таких пропорций на человека мы здесь не делаем.
Отдельно живёт представление о том, что человек бессознательно предпочитает золотые пропорции. Его проверял ещё Густав Фехнер в 1876 году: он предлагал участникам выбрать самый приятный из десяти прямоугольников и сообщил, что чаще всего выбирали близкий к золотому. Позднейшие повторения опыта дали противоречивые результаты, и вопрос считается открытым: выбор зависит от способа предъявления, набора вариантов и опыта участников.
Как быстро прикинуть золотое сечение в уме без калькулятора
Прикинуть золотое сечение в уме проще всего через дробь 5/8: умножьте длину на 5 и разделите на 8, ошибка составит около 1 %. Для полосы 1000 мм это 625 мм вместо точных 618 мм, и разница в 7 мм на метре в большинстве задач незаметна. Если нужна точность выше, возьмите 13/21 ≈ 0,619 с ошибкой около 0,2 % или 21/34 ≈ 0,618 с ошибкой около 0,06 %.
Второй способ опирается на то, что 0,6 × 1,03 = 0,618 ровно. Возьмите шесть десятых длины и добавьте к результату ещё три сотых от него. Для 250 см: 150 см плюс 4,5 см дают 154,5 см, и это точное значение большей части. Для 80 см: 48 см плюс 1,44 см дают 49,44 см при точных 49,44 см.
Обратная проверка: разделите большую часть на меньшую. Если получилось между 1,60 и 1,64, деление выполнено с точностью, которой хватает для любого практического применения, потому что отклонение меньше 1,5 % на обычных размерах составляет миллиметры.
Частые вопросы
Что такое золотое сечение простыми словами?
Это деление отрезка на две части, при котором целое относится к большей части так же, как большая часть к меньшей. Большая часть занимает примерно 61,8 % длины, меньшая 38,2 %. Отношение большей части к меньшей равно числу φ ≈ 1,618.
Чему равно число золотого сечения и как оно обозначается?
Число золотого сечения равно (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887 и обозначается греческой буквой φ (фи). Обозначение предложил в начале XX века Марк Барр в честь скульптора Фидия. Обратная величина 1 / φ ≈ 0,618, квадрат φ² ≈ 2,618.
Как вычислить золотое сечение по формуле?
Если известна вся длина L, большая часть равна L / 1,618, а меньшая L − L / 1,618. Если известна большая часть a, целое равно a × 1,618, а меньшая часть a / 1,618. Если известна меньшая часть b, большая равна b × 1,618, а целое b × 2,618. Например, отрезок 100 см делится на 61,8 см и 38,2 см.
Что означает правило золотого сечения 3:5:8?
Это целочисленное приближение пропорции: 3, 5 и 8 идут подряд в ряду Фибоначчи, и отношения 5/3 ≈ 1,667 и 8/5 = 1,6 близки к φ ≈ 1,618. Полосу делят на 8 частей, из которых 5 отдают главному элементу и 3 второстепенному. Ошибка по сравнению с точным золотым сечением составляет от 1 до 3 %.
Как связаны золотое сечение и ряд Фибоначчи?
Отношение соседних чисел Фибоначчи стремится к φ: 8/5 = 1,6, 13/8 = 1,625, 21/13 ≈ 1,615, 34/21 ≈ 1,619 и так далее. Это следует из формулы Бине, где n-е число Фибоначчи выражается через степени φ. Чем дальше в ряду взяты числа, тем точнее их отношение приближает золотое сечение.
Как построить золотой прямоугольник?
Начертите квадрат, отметьте середину одной из его сторон и проведите из неё отрезок к противоположной вершине. Раствором циркуля, равным этому отрезку, продлите сторону квадрата из той же середины. Полученный прямоугольник имеет отношение сторон 1 : 1,618; при стороне квадрата 1 длинная сторона равна 1/2 + √5 / 2 = φ.
Как разделить отрезок в золотом сечении циркулем и линейкой?
Из конца B отрезка AB восставьте перпендикуляр длиной в половину AB и отметьте точку C. Соедините A и C, затем отложите на AC от точки C отрезок, равный CB, и получите точку D. Раствором циркуля AD сделайте засечку на AB из точки A: точка E делит AB в золотом сечении, причём AE ≈ 0,618 AB.
Есть ли золотое сечение в природе?
Да, чаще всего через золотой угол 137,5° и числа Фибоначчи в расположении листьев, семян и чешуек: спирали на корзинке подсолнуха обычно насчитывают 34 и 55 или 55 и 89 штук, на сосновой шишке 8 и 13. Раковина наутилуса при этом золотой спиралью не является: она логарифмическая, но с другим коэффициентом роста.
Чем сетка фи отличается от правила третей?
Сетка фи делит кадр линиями в отношении 1 : 0,618 : 1, то есть на 38,2 % и 61,8 % ширины и высоты. Правило третей ставит линии на 33,3 % и 66,7 %. Разница меньше 5 % размера кадра, и обе сетки решают одну задачу: увести главный объект из центра.
Правда ли, что Парфенон и «Мона Лиза» построены по золотому сечению?
Измерения этого не подтверждают. Марио Ливио в книге «The Golden Ratio» (2002) и Джордж Марковски в статье 1992 года показали, что золотые прямоугольники на Парфеноне, пирамиде Хеопса и картинах Леонардо получаются только при выборочном проведении границ. Документов, где авторы этих работ ссылались бы на пропорцию, не сохранилось.
- Евклид. Начала. Книги I–VI. Перевод и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского. Москва, Ленинград: ГИТТЛ, 1948.
- Pacioli L. De divina proportione. Venezia: Paganino Paganini, 1509.
- Ohm M. Die reine Elementar-Mathematik. 2. Aufl. Berlin: Jonas Verlagsbuchhandlung, 1835.
- Kepler J. Strena seu de nive sexangula. Frankfurt am Main, 1611.
- Fechner G. T. Vorschule der Aesthetik. Leipzig: Breitkopf & Härtel, 1876.
- Markowsky G. Misconceptions about the Golden Ratio. The College Mathematics Journal, 1992, 23(1), 2–19.
- Livio M. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number. New York: Broadway Books, 2002.
- Douady S., Couder Y. Phyllotaxis as a physical self-organized growth process. Physical Review Letters, 1992, 68(13), 2098–2101.
- Huntley H. E. The Divine Proportion: A Study in Mathematical Beauty. New York: Dover, 1970.
- Коксетер Г. С. М. Введение в геометрию. Москва: Наука, 1966.
- Васютинский Н. А. Золотая пропорция. Москва: Молодая гвардия, 1990.
Калькулятор принимает одно введённое значение и пересчитывает остальные умножением и делением на φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887: при известной большей части a целое равно a × φ, а меньшая часть a / φ; при известном целом L большая часть равна L / φ, а меньшая L − L / φ; при известной меньшей части b большая равна b × φ. Золотой прямоугольник строится со сторонами a и b, спираль составляется из четвертей окружностей во вписанных квадратах, а таблица отношений использует соседние числа Фибоначчи от 1 до 144.